Робота з обдарованими

                                  Програма

                                     5 клас

                  (35 годин, 1 година на тиждень)

 (підготувала учитель вищої категорії Н.Нікітіна)

 

          Розділ 1. Множини. Дії над множинами.

 

1.    Поняття множини, підмножини.

2.    Переріз множин, об*еднання множин.

3.    Розв*язування логічних вправ з теми.

 

                              Розділ 2.  Цифрові задачі.

 

 

1.     Цифри у різних народів, римська нумерація, числа слов’ян, арабські числа. Цифрові задачі

 

Будь-яке число можна записати за допомогою лише десяти числових знаків, цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Сучасні цифри виникли на протязі багатьх віків.

У римській системі мають місце цифри: І, ІІ, ІІІ, ІV, V, VІ, VІІ, VІІІ, ІX, …  Всім відомі цифри: L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000, … . Наприклад, число 38784 можна записати так: XXXVІІІmDCCLXXXІV.

Римська нумерація, порівняно з десятковою, незручна. В сучасній нумерації не тільки вид цифри має значення, а також її місце, положення, позиція.

Наприклад, в числі 15 цифра 5 означає число одиниць, а в числі 53 таж цифра 5 означає п’ять десятків, тобто п’ятьдесят одиниць. Тому наша нумерація називається позиційною.

Вона, як і сучасні цифри виникла приблизно 1500 років назад в Індії. Старовинні індійські цифри багато разів змінювались, доки прийняли сучасну форму.

Араби унаслідували у індійців цифри й позиційну десяткову систему,а європейці, в свою чергу у арабів. Тому наші цифри називають арабським. Првильно було б їх назвати індійськими.

 

Задача 1.  Діти їхали на автомашині з табору до міста. Коли вони проїхали ¾ шляху, машина зупинилась на ремонт. Решту шляху діти пройшли пішки, на що було затрачено у 4 рази більше часу, ніж на їзду автомашиною. У скільки разів швидше діти їхали на автомашині, ніж ішли пішки.

Розв’язання. На автомашині діти проїхали шлях у 3 рази більший, ніж пройшли пішки, а часу витратили у 4 рази менше.Отже вони їхали на автомашині в 12 раз швидше, ніж ішли пішки.

Задача 2. На три склади длоставлено вантаж. На перший і другий доставлено 400 т, а на перший і третій 440 т. Скільки тонн вантажу було доставлено на кожний склад окремо.

Розв’язання. На всі три склади доставили вантаж вагою (400+300+440):2т, тобто 570 т. На третій склад було доставлено 570-400=170 т і на другий 570-440=130 т, на перший 570-300=270 т.

Задача 3. Два брати розговорилися про те, скільки вони зібрали грошей. Старший брат говорить молодшому: «Дай мені 8 гривень, тоді у мене буде грошей у два рази більше,ніж у тебе». Молодший, пордумавши , відповів : «Ні , у тебе і так більше грошей, ніж у мене. Краще ти дай мені 8 грн., тоді грошей у нас буде порівну». Скільки грошей зібрав кожний брат.

Відповідь. У старшого 56 грн., у молодшого 40 грн.

Задача 4. Рибалка піймав рибу. Коли у нього запитали скільки важить піймана риба, він сказав: «Хвіст її важить 1 кг, голова важить стільки,скільки хвіст і половина тулуба, а тулуб – скільки голова і хвіст разом»Скільки важить риба.

Відповідь. 8 кг.

Задача 5. Об’єм води під час замерзання збільшується на 1/11 частину початкового об’єму. На яку частину свого об’єму зменшиться об’єм льоду при перетворенні його у воду.

Відповідь. 1/12.

Задача 6. Котра зараз година, якщо до кінця доби залишилось4/5 того часу, який вже минув від початку доби.

Відповідь. 13 год. 20 хв.

  2.    Цікаві вправи з арифметики. Вправи з римськими цифрами.

              Вивчаючи єгіпетські математичні папіруси можна зробити висновок, що 

в основному арифметичні дії додавання і віднімання натуральних чисел у єгиптян виконувались так, як і зараз, а множення і ділення зводилось до послідовного подвоєння і додавання.

           Задача 1. 15х12

            Розв’язання. Складаемо два стовбчики, щоб сума деяких лівого стовбчика дорівнювала 13 (1+4+8=13). 15х13=(1+4+8)х15=15+60+120=195.

         /1      15

2              30

         /4     60

         /8     120.

            Задача 2. 195:15.

            Розв’язання. 195:15=(15+60+120):15=1+4+8=13.

            Задача 3. «Русский способ умножения» 27х16.

            Розв’язання. Один із множників є першим одного стовбчика і подвоюється , другий – другого стовбчика -  повторно ділиться на два

27              16

54        8

108             4

216             2

432             1

27х16=54х8=108х4=216х2432х1=432.

           Задача 4. 46х28.

           В цьому випадку при діленні на два множника 28 залишається остача. У відповідних місцях пишемо у дужках 1.

           46       28

           92       14

          184      7(1)

          368       3(1)

          736       1

46х28=736х1+368х1+184х1=1288.

          Цім методом інколи вигідно користуватася у тих випадках, коли один із множників постійний.

          Задача 5. Швидкість поїзда в середньому 57 км/год. Яку відстань він проходить за 16, 34, 44, 52 год.

          Розв’язання. Складаємо таблицю:

  57      16      34     44     52                      

114        8      17(1) 22    26

228        4        8     11(1) 13(1)

456        2        4       5(1)  6

912        1        2       2        3(1)

1824                1       1        1

           Маємо:         1)    57х16=912

2)    57х34=1824+114=1938

3)    57х44=1824+228+456=2508

4)  57х52=1824+228+912=2964.                                                                                                                                                                 

                      Розділ 3. Задачі на порівняння та оцінки

            1. Про знаки арифметичних дій. Рівності та нерівності

  Цифри, знаки арифметичних дій та інші математичні символи здобувалися людьми на протязі століть в тісному зв’язку зрозвитком самої арифметики.

           Знаки « +»  і « - зустрічаються вже на початку 80-х років XV ст. в рукописах, але  надруковані в арифметиці Відмана.

           В XVII ст.  мінус позначали «÷», щоб не плутати зі знаком «– (тире). Знак «÷» зустрічається в «Арифметиці» Магницького Л.Ф. Знак множення х введений в 1631 р. англійським математиком Вільямом Оутредом (1574-1660). Крапкою для позначення множення постійно користувався  відомий німецький математик XVII ст. Г.В.Лейбніц (1646-1716). Він же ввів дві точки для позначення дії ділення.

             Знак = був введений англійським лікарем Робертом Рекордом в 1557 р.

Знак більше >, знак менше <, знак більше або дорівнює ≥, знак менше або дорівнює ≤.

              2.Задачі, пов’язані з комбінаціями нерівностей.

 Задача 1. У Василька 50 грн. Йому потрібно купити зошити по 2 грн. і  квиток у кіно за 25 грн. Яку найбільшу кількість зошитів він може купити?

Розв*язання. 1-спосіб.

5)    2+25<50             4) 2x8+25<50

6)    2x5+25<50         5) 2x12+25<50

7)    2x6+25<50         6) 2x13+25>50

Відповідь: 12 зошитів.

            2-спосіб. Позначимо через Х шукану кількість зошитів. Оскільки на купівлю зошитів залишилось 50-25=25 грн., запишемо нерівність 2Х<25. Найбільшим серед значень, що задовольняють цю нерівність, є Х=12.

             3-спосіб. На придбання зошитів залишилось 50-25=25 грн. Оскільки

25=2х12+1, то шукана кількість зошитів дорівнює 12.

              Зауважимо, що останній спосіб для учнів найпростіший. Проте доцільно підводити учнів до другого способу, який готує їх до складання й розв*язування нерівностей виду ах≤в, де х-натуральне число.

              Задача 2. Маса чавуна болванки 16 кг, яку найменшу кількість таких болванок потрібно взяти, щоб відлити 41 деталь масою 12 кг кажна.

              Розв*язання.

              1-спосіб. Оскільки маса однієї деталі 12 кг, то 41 деталь матиме масу 12х41=492 (кг). Щоб дістати 492 кг чавуну потрібно взяти 31 болванку: 492:16=30 (12 остача).

              2-спосіб. Нехай n-шукана кількість болванок, тоді 16n-їх маса, а12х41=492-маса усіх деталей. За умовою 16n≥492, тобто  n>492:16 (знак «=» виключається, оскільки 492 не ділиться без остачі на 16). Найменшим цілим числом, що перевищує частку чисел 492 і 16 є 31.

              Методом оцінки можна розв*язувати задачі назнаходження найбільшого і найменшого значення виразів ах+в, де m≤x≤n, потрібно вміти: 1) розв*язувати подвійну нерівність; 2) знаходити те значення змінної, яке задовольняє вимоги задачі; 3) оцінювати значення виразу, з*ясовуючи одне з таких питань: як змінюється  сума зі зміною доданків; як змінюється різниця зі зміною зменшуваного і від*ємника, як змінюється добуток зі зміною співмножників.

              Задача 3. Вартість телеграми оцінюється так: по 50 коп. За кожне слово і одна гривня за відправлення телеграми. Яка найбільша і найменша вартість телеграми, якщо кількість слів у телеграмі визначається нерівністю: 17≤Х≤40.

              Розв*язування задачі зводиться до знаходження найбільшого і найменшого значень виразів 50Х+100, якщо 17≤Х≤40.

              Спочатку можна запропонувати обчислити значення виразів для кількох значень змінної, взятих з проміжку 17≤Х≤40.

              Сума буде найбільшою, якщо доданок 50Х буде найбільшим, тобто дорівнюватиме 50х40, і найменшою, якщо доданок буде найменшим тобто дорівнюватиме 50х17 (зауважимо, що другий доданок сталий).

              Розглянуті вище задачі можна розв*язувати під час вивчення натуральних, цілих і раціональних чисел.

              Задача 4. Моторний човен наздогоняє пліт. Початкова відстань між ними 35 км. Швидкість плоту 3 км /год, а  швидкість моторного човна 10 км/год. Яка відстань буде між ними через t год., якщо t=2;3;4. Коли відстань між ними найбільша; найменша?

              Розв*язання. Відстань між плотом і човном щогодини зменшуватиметься на 7 км (10-3=7). Через t годин ця відстань зменшиться на 7t і становитиме 35-7t кілометрів. Знайдемо найбільше і найменше значення виразів 35-7t при 2≤t≤4. Значення виразу буде найбільшим  при найменшому від*ємнику 7t, тобто при t=2: 35-7х2=35-14=21. Вираз буде найменшим при найбільшому від*ємнику, тобто при t=4: 35-7х4=35-28=7 (км).

              Ззадача 5. З дроту, довжина якого10 м, виготовляють обручі завдовжки 45 см. Яку найбільшу кількість обручів можна виготовити з цього дроту.

                         3. Задачі на порівняння та оцінку.

 Задача 1.  Груша важча від яблука, а яблуко важче від персика. Що важче груша чи персик?

Відповідь. Груша.

Задача 2. Ручка дорожча від зошита, а олівець дешевше від ручки, що дорожче – олівець чи зошит?

Відповідь. Не можна визначити.

Задача 3. 7 олівців дорожче від 8 зошитів. Що дорожче – 8 олівців чи 9 зошитів?

 Розв*язання. Якщо 7 олівців дорожче від 8 зошитів, то 1 олівець дорожче від 1 зошита. Тоді 8 олівців дорожче від 9 зошитів.

 Задача 4. 11 жувальних гумок дорожче від 13 порцій морозива. Що дорожче 9 жувальних гумок чи 10 порцій морозива?

 Відповідь. Жувальні гумки дорожчі.

 Задача 5. 6 карасі важчі ніж 10 лящів, але легше від 5 окунів, а 10 карасів важчі від 8 окунів. Що важче – 2 карасі чи 3 лящі?

Вказівка. Для розв*язання  важливо порівняти лише вагу карасів та лящів.

Відповідь. 2 карасі важчі.

Задача 6 У чотириповегховому будинку Михайлик живе вище від Віталія але нижче Дмитрика, а Андрійко нижче від Віталія. Хто на якому поверсі мешкає?

Відповідь. Дмитрик мешкає на 4 поверсі, Михайлик – на 3, Віталій на – 2 і Андрійко – на 1.

Задача 7. Катруся, Маруся, Михайлик та Дмитрик збирали ягоди. Маруся зібрала більш над усіх, Катруся -  не менше від одного з хлопчиків. Чи справедливо, що дівчата зібрали більше ягід ніж хлопчики?

Розв*язання. Нехай Катруся зібрала ягід не менше від Дмитрика. Тоді Маруся зібрала більше ві Михайлика, тобто дівчата зібрали ягід більше від хлопчиків.

Задача 8. Дмитро, Андрій, Михайлик і Віталій підрахували після риболовлі свій улов. Віталій спіймав риби більше, ніж Михайлик. Дмитро і Андрій спіймали разом  стільки ж риби, скільки Михайлик і Віталій. Дмитро і Віталій разом спіймали менше риби, ніж Андрій і Михайлик. Яке місце посів кожен за кількістю виловленої риби?

Відповідь. Першим був Андрій, за ним – Віталій, потім – Михайло, останнім – Дмитро.

Задача 9. Велосипедист і автомобіліст одночасно вирушили із пункту А до пункту В. Автомобіліст їхав зі швидкістю у 5 разів більшою ніж велосипедист. На дорозі автомобіль зазнав аварії, і частину шляху ,що залишилася, автомобіліст пройшов пішки зі швидкістю, удвічі меншою ніж велосипедист. Хто зних прибув раніше до пункту В?

Розв*язання. Велосипедист приїхав раніше, бо на другу половину шляху автомобіліст витратив стільки ж часу, скільки велосипедист на весь шлях.

Задача 10. Від стелі кімнати вертикально вниз повзли дві мухи. Досягнувши підлоги, вони поповзли назад. Перша муха вобидва кінці повзла з однаковою швидкістю, а друга, хоча і піднімалася у двічі повільніше, ніж перша, але опускалася удвічі швидше. Яка з них раніше приповзе назад?

Відповідь. Перша.

Задача 11. Шлях від дома до школи Буратіно подолав пішки. Повертаючись, він рухався тим же шляхом, але першу половину він проїхав на собаці, а другу – на черепасі. Швидкість собаки у 4 рази більша, а швидкість черепахи у двічі менша, шіж швидкість з якою рухався Буратіно. Коли Буратіно витратив більше часу – на шлях до школи, чи до дому?

Відповідь. Буратіно витратив більше часу на шлях від школи додому.

                 У 5 класі  корисно розв*язувати задачі  на знаходження  найбільшої площі прямокутника зі сталим периметром  і найменшого периметра прямокутника зі сталою площею.

              Задача 12. За якої умови прямокутник, площа якого 36 см, меє найменший периметр?

              Відповідь. Найменший периметр має квадрат зі стороною 6 см.

              Задача 13. За якої умови прямокутник, периметр якого 36 см, має найбільшу площу?

              Відповідь. Квадрат зі стороною 9 см.

                Розділ 4. Найпростіші комбінаторні задачі. Турніри.

  1.     Застосування методу «перебору» всіх можливих випадків.

               Задача 1. За допомогою цифр 5, 2, 7 записати всі можливі трицифрові числа ( цифри в кожному з них різні). Серед записаних чисел знайти найбільше і найменше.

              На перший погляд здається, що це проста задача, проте вона має значне теоретичне навантаження. Задача ознайомлює учнів з впорядкованими множинами, з методом перебору, комбінаторикою.

              Задача 2. У приймальні директора заводу чекають прийому робітники (А,В,С). Попереднє опитування показало, що для розгляду питання робітнику А потрібно 5 хвилин, робітнику В – 3 хвилини, робітнику С – 7 хвилин. Як організувати прийом робітників, щоб вони були в приймальні по можливості менше часу, тобто як мінімізувати час чекання.

              Складемо таблицю:

Робітник    А     В     С

Час             5       3      7

Робітники	Час на з*ясування питання	Час, затрачений кожним робітником	Сумарний час
А В С	5, 3, 7	5, 5+3, 5+3+7	5+8+15=28
А С В	5, 7, 3	5, 5+7, 5+7+3	5+12+15=32
В С А	3, 7, 5	3, 3+7, 3+7+5	3+10+15=28
В А С	3, 5, 7	3, 3+5, 3+5+7	3+8+15=26
С А В	7, 5, 3	7, 7+5, 7+5+3	7+12+15=34
С В А	7, 3, 5	7, 7+3, 7+3+5	7+10+15=32

 Відповідь. Сумарний час 26 хв.

              Задача 3. Скільки існує двоцифрових чисел, обидві цифри яких різні.

              Розв*язання. Запис довільного двоцифрового числа можна здійснити послідовним записом всіх його цифр. Зрозуміло, що першою може бути записана будь-яка з 10 цифр, відмінна від нуля. Тоді другою можна записати будь яку з решти дев*яти цифр, крім уже записаної першої цифри. Отже, для кожної з дев*яти можливостей запису першої цифри існує по дев*ять можливостей запису другої. Таким чином дістанемо 9х9=81 двоцифрових чисел, обидві цифри яких різні.

              Задача 4. Скільки існує трицифрових чисел, всі цифри яких різні.

              Розв*язання. Беручи до уваги розв*язання задачі 3, зауважимо, що  запис будь-якого трицифрового числа можна розглядати як запис двоцифрового з наступним дописуванням третьої цифри. Перші дві ми могли записати 81 способом. Третьою може бути записана будь-яка з решти 8 цифр (крім двох, що записані раніше). Отже для кожної з 81 можливості запису перших двох цифр є по 8 можливостей запису третьої цифри. Тому існує 81х8=648 трицифрових чисел, всі цифри якіх різні.

              Задача 5. Скільки існує різних трьохзначних чисел, записаних лише цифрами 1, 2, 3, 4.

              Розв*язання. Нехай маємо 4 ящики за номерами  1, 2, 3, 4. В кожному з них по чотири ящики середньої величини і на кожному написано його адреса з двох цифр. Число таких ящичків 4х4=16. В кожному ящичку середньої величини 4 маленьких ящичка і на кожному маленькому «адреса» з трьох цифр – тризначне число: перша цифра – номер великого ящики, друга цифра – номер відповідного середнього ящика, третя цифра – номер маленького ящики у «четвірці» маленьких ящичків. Тризначні номери маленьких ящичків складають множину тризначних чисел. Але таких тризначних чисел – «адреса» стільки ж , скільки й самих ящиків, тобто 4х4х4=64.

              Задача 6. Серед чисел із задачі 5 скільки існує таких, у запису яких цифри не повторюються.

              Розв*язання. Можна мислити інакше. Перша цифра тризначного числа – це 1, 2, 3 або 4. Для вибору першої цифри існує чотири можливості. Для вибору другої залишається три можливості – одна з цифр вже застосована. То перші дві цифри можна обрати 3х4=12 способами. Для вибору третьої цифри існує три можливості, а всього 4х3х2=24 способи.

              Відповідь. 24.

              Задача 7. Маємо 5 прапорців: синій, білий, червоний, зелений, помаранчовий. Для передачі інформації застосовують три прапорці, але має значення не тільки колір, але й порядок. Скільки різної інформації можна передати?

              Відповідь. 60=5х4х3.

              Задача 8. У класі 12 дівчат. Треба обрати старосту, санітара, волонтера. Скількома способами це можна зробити?

              Розв*язання. 12х11х10=1320 способів.

              Даний підхід називають правилом множення.

              Задача 9. Скільки існує трицифрових чисел, перша ьцифра яких більша від двох інших, а друга менша від третьої.

              Розв*язання. Таке число дістанемо з кожного трицифрового числа, цифри якого йдуть у складному порядку, якщо якщо в ньому переставити місцями другу і третю цифри. Таких чисел буде 120.

               2. Подання числа у вигляді суми.

              Будь-яке двозначне число А, що має а одиниць і в десятків можна записати у вигляді А=10а+в. Наприклад А=ав, тобто

                                                       ва=10в+а.

              Для тризначного числа А, що має а одиниць, в десятків, с сотень, будемо записувати так:

                                                       сва=100с+10в+а.

              Якщо в тризначному числі потрібно виділити тільки число десятків і цифру одиниць, то    

сва=10св+а.

              Наприклад 237=2х100+3х10+7=23х10+7.

              Чотиризначне число, що містить а одиниць, в десятків, с сотен, d тисяч (а, в, с, d  -  цифри) зображують у вигляді А=dсва, що означає:

                                                        dсва=1000d+100с+10в+а.

              Іноді корисно в числі А виділити тільки число одиниць і число десятків або число одиниць, число десятків і число сотень, тоді

                                                        dсва=10dсв+а=100dс+ва=100dс+10в+а.

              Наприклад. 4328=432х10+8=43х100+28=43х100+2х10+8.

                    3. Турніри.

               Задача 1.  Чи можна організувати такий турнір, щоб у ньому брали участь 13 команд і кожна команда зіграла по 5 матчів?

              Розв*язання. Якщо такий турнір можна організувати, то в ньому було б проведено 13х5:2 матчів, що не можливо.

              Задача 2. Матч «Поліграфтехніка» - «Закарпаття» закінчився з рахунком 8 : 5 на користь «Поліграфтехніки». Доведіть, що у матчі був такий момент, коли «Закарпаттю» залишилося забити стільки м*ячів, скільки «Поліграфтехніка» забила вже на цей час.

              Розв*язання. Умову задачі можна переоформити так: був такий момент, коли сума голів, забитих обома командами, дорівнює 5. Перед початком матчу рахунок був 0 : 0, тобто сума голів дорівнювала 0. І з кожним забитим м*ячем ця сума зростала на 1 і збільшувалася до 13. Отже в матчі був момент, коли сума дорівнювала 5.

              Задача 3. 8 команд зіграли футбольний турнір, причому кожна команда зіграла по одному матчу з кожною іншою. За перемогу команда отримує 2 очки, за нічию – 1, за поразку – 0 очок. По закінченні турніру з*ясувалося, що команди набрали таку кількість очок: 14, 12, 8, 8, 6, 4, 3, 1. Скільки очок втратили команди, які посіли перші чотири місця в іграх з іншими командами?

              Розв*язання. Перші чотири команди зіграли з іншими 4х4=16 матчів, а між собою 3х4:2=6 матчів. Тому найбільша кількість очок, яку вони могли набрати разом (16+6)х2=44. Насправді вони набрали 42 очки і отже в іграх з іншими командами втратили 2 очки.

              Задача 4. Михайлик і Віталій на змаганнях зі стрільби зробили по 5 пострілів. При цьому вони влучили у 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Відомо, що за перші три постріли вони набрали однакову кількість очок. А  за три останні Михайлик набрав утричі більше очок, ніж Віталій. Визначте, скільки очок набрав кожен із них під час третього пострілу.

              Найменша кількість очок  за три постріли дорівнює 9, а найбільша – 28. Очевидно,що Михайлик за три останні постріли дістав 27 очок, а Віталій лише 9. Це стає можливим, коли Михайлик набирає відповідно 10, 9, 8 очок, а Віталій 2, 3, 4. Тоді під час перших двох пострілів було вибито 9, 8, 4, 5 очок. Сума очок за перші два постріли Михайлика принаймні на 4 менша від суми очок за перші два постріли Віталія, тому Михайлик набрав за два постріли 9 очок, а Віталій – 17. Отже Михайлик третім пострілом набрав 10 очок, а Віталій – 2.

              Задача 5. У турнірі за олімпійською системою (той хто програв – вибуває) бере участь 50 боксерів. Яку кількість боїв треба провести, щоб виявити перемежця?

              Відповідь. 49 боїв.

               Розділ 5. Задачі на зважування та переливання.

 1.    Старинні міри ваги. Задачі на зважування на терезах без гир.

             Задача 1. Із трьох монет одна фальшива. Як знайти її одним зважуванням на шалькових вагах без гир, якщо відомо, що фальшива монета легша від справжньої?

             Розв*язання. Покладемо на шальки ваг по одній монеті. Якщо вони перебувають у рівновазі, то фальшива монета та, яку не зважували. Якщо ж ваги не перебувають у рівновазі, то легша монета фальшива.

             Задача 2.Із чотирьох монет одна фальшива. Як знайти її двома зважуваннями на шалькових вагах без гир, якщо відомо, легшп чи важча фальшива монета від справжньої?

        Розв*язання. Позначимо монети літерами А. В. С. Д. Спочатку зважуємо монети А. В, а потім В. С. Якщо А=В і В=С. То фальшива монета Д. Якщо А=В і В≠С, то фальшива монета С. Якщо А≠В і В=С, то фальшива монета В.

             Задача3. Із дев*яти монет одна фальшива. Як знайти її двома зважуваннями на шалькових вагах без гир, якщо відомо, що фальшива монета легша від справжньої?

             Вказівка. Розділіть монети на три рівні купи.

             Задача4. Із 27 монет одна фальшива. Як знайти її трьома зважуваннями на шалькових вагах без гир, якщо відомо, що фальшива монета легша від справжньої?

             Вказівка. Розділити монети на три рівні купи

             Задача5.Із 12 монет одна фальшива. Як знайти її трьома зважуваннями на шалькових вагах без гир, якщо невідомо легша чи важча фальшива монета від справжньої?

             Розв*язання. Позначимо монети  літерами від А до L. Перше зважування: кладемо на шальки нобори АВСД і ЕFGH.

              Можливі два виподки:

             1) ваги в рівновазі; це означає, що фальшива монета серед тих, що залишилися (як знайти фальшиву монету  у цьому випадку, див. задачу 2);

              2) ліва шалька легша, тобто фалтшива монета серед тих, що зважували.

             Друге зважування: кладемо на шальки набори ІJKD і ABCH.

             Можливі три виподки:

              1) ліва шалька знов легша, тоді фальшива одна з двох монет: Д або Н (їх положення не змінювалося) і достатньо одного зважування, щоб її виявити.

              2) Ваги врівноважились, тоді фальшива одна з монет ЕFG, причому вона важча від справжньої (див. задачу 1).

 3) Ліва шалька стала важчоью, тоді фальшива одна з монет АВС і вона легше.

             2.Задачі на зважування на терезах із гирями.

              Задача 1. Є шалькови ваги і гири масою 1г, 2г, 4г, 8г, 16г. На одну шальку ваг кладуть вантаж, а на іншу можна класти гири. Доведіть, що ваги можна врівноважити, якщо маса вантажу дорівнює:

              а) 13г, 19г, 23г, 31г.

              б) будь-якій цілій кількості грамів від 1 до 31 включно.

              Розв*язання.

              а) покажемо, наприклад, як можна врівноважити 23г. Щоразу братимемо з набору гир найважчу, що не перевищує вагу вантажу. Отже 23=16+4+2+1.

              б) за допомогою гир 1г і 2г можна зважити маси 1г, 2г і 3г. Якщо додати гирю 4г, можна зважити маси від 4г до 7г, якщо додати гирю у 8г, можна тепер зважити маси від 8г до 15г., якщо тепер додати гирю 16г, то можна буде зважувати маси від 16г до 31г включно.

              Задача2. Є шалькові ваги і гири масою 1г, 3г, 9г, 27г, 81г. Доведіть, що ваги можна врівноважити, якщо маса вантажу дорівнюватиме а) 31г, 47г, 52г, 74г; б) будь-якій цілій кількості грамів від одного до 121г включно.

             Вказівка. Гири можна класти на обидві шальки ваг.

             Відповідь: 31=27+3+1: 47+27+9+1=81+3; 52+27+3=81+1: 74+9+1=81+3.

             Задача 3.  Є шалькові ваги і три набори гир масою 1г, 4г, 16г, 64г,256г. Доведіть, що ваги можна врівноважити , якщо маса вантажу дорівнюватиме:

              а)  3 г, 26г, 84г, 337г;

              б) будь-якій цілій кількості грамів від 1 до 1023 включно.                                              

              Відповідь. 3=1+1+1; 26=16+4+4+1+1; 84=64+16+4; 337=256+64+16+1.

                          3. Задачі на  переливання.

              Задача 1.  Як мають дві посудини місткістю 3л і 5л  налити з водопровідного крана 4л води?                                               

              Розв*язання.                     

              Налити 3л води із 5л посудини. В ній залишилося 2л. Виливаемо їх в 3л посудину і доливаємо з 5л. У 5л посудині залишилося 4л.

             Задача 2. Як поділити 12л квасу на дві рівні частини, використовуючи дві посудини місткість 8л і 3л.

             Розв*язання.

             Спочатку налити із 12л посудини 3л і перелити у 8л. Повторити переливання.

             Задача 3. 10л бідон заповнений гасом. Маємо дві посудини 7л і 2л. Як розділити гас на дві рівні частини?

             Розв*язання.

             Спочатку із першоі посудини налити у другу 7л, потім із другої 2л в треть.

             Задача 4.  Маємо дві посудини місткістю 9л і 4л. Як із їх допомогою набрати із бочки 6л деякої рідини. (Рідину можна виливати назад у бочку).

             Вказівка: необхідно у посудину місткістю 4л набрати 1л рідини.

             Задача 5.  Маемо дві посудини місткістю 5л і 9л. Як набрати з водоймища рівно 3л рідини?.

              Вказівка. Наберіть у 9л посудину 8л рідини.

             Задача 6.  Маємо 3 посудини місткістю 8л, 5л, 3л. Перша з них повна води. Як розділити рідину на дві рівні частини?

             Вказівка. Наберіть в одну посудину 1л рідини.

             Задача 7. Маємо три посудини місткістю 12л, 9л, 5л. Перший наповнений рідинию. Чи можна налити 6л рідини?

              4. Задачі на перекладання.

               Задача 1.  У трьох купах є 22, 14, і 12 горіхів. Потрібно шляхом трьох перекладань зрівняти кількість горіхів у купах, дотримуючись при цьому  умови: з будь-якої купи дозволяється перекладати в другу стільки горіхів, скільки їх у другій купі

              Розв*язання. (22; 14; 12)→(8; 28; 12)→(8; 16; 24)→(16; 16; 16).

             Задача 2.  Покладіть на стіл три купи сірникіа: в одну – 11сірників, у другу- 7, а в третю – 6. Перекладаючи сірники з будь-якої купи в будь-яку іншу, потрібно за три операції зрівняти кількість сірників у купах, якщо до будь-якої купи можна додавати стільки сірників, скільки в ній є.

              Розв*язання. (11; 7; 6)→(4; 14; 6)→(4; 8; 12)→(8; 8; 8).

                  Розділ 6. Сюжетні логічні задачі.

              1. Вислювлювання: істинні і хибні.

  АÛВ рівносильність речень; АÞВ слідує; а║в істинне; а║`в хибне; АÚВ (А або В); АÙВ (А і В).

             Задача 1.  Які з наведених висловлень істинні, а які хибні: а) ділення а : в без остачі можливо, якщо число а кратно числу в, в≠0; б) число 4 задоволняє нерівності Х<8 і нерівності Х>2,5; в) не всі прості числа непарні;г) число 0,5 задовольняє нерівностям: 1) Х<0,5; 2) Х≤0,5; 3) Х³0,5; 4) Х>0,5.

             Відповідь. Істинні висловлювання: а); б); в);г) 2, 3; хибні г) 1,4.

             Задача 2.  Які з наведених висловлень істинні, а які хибні:

             а) якщо добуток двох натуральних чисел ділиться на 6, то принаймні один із множників ділиться на 6;

             б) для того, щоб число ділилося на 2, необхідно,щоб воно закінчувалося нулем;

             в) сума непарних чисел є непарне число;

             г) не існує цілого числа, куб якого закінчується цифрою 2;

             д) для того, щоб а³=а² необхідно,щоб а=1;

             е) для того, щоб куб цілого числа ділився на 5 , необхідно, щоб саме число ділилося  на 5;

             є) квадрат будь-якого парного числа ділиться на 4;

             ж) будь-яке натуральне число, більше 1, ділиться принаймні на одне просте число;

             з) аÎ(0;1)Û(1/а>1);

             і) (а≠0Ùв≠0)Þ(а+в≠0).

             Відповідь. Істинні висловлювання е); є); ж); з); хибні а); б)4 в); г); д); і).

             Задача 3.  В кожному з наведених математичних речень виділити умову і висновок.

              1) Сума двох парних чисел – парне число;

              2) різниця непарних чисел – непарне число;

             3) квадрат непарного числа не ділиться на 4;

             4) добуток будь-яких трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 6;

             5) добуток двох чисел дорівнює 0, якщо принаймні один із множників дорівнює 0.

             Задача 4.  В одному будинку живуть 13 учнів однієї школи. В цій школі 12 класів. Доведіть, що принаймні два учні живуть в даному будинку, навчаються в одному класі.

              Розв*язання. Якщо б в кожному класі навчалося по одному учню, то учнів було б 12. Але їх 13. Прийшли до протирічча.

             Задача 5.  Всім членам однієї родини зараз 73 роки. Склад родини: чоловік, жінка, донька, син. Чоловік старший за жінку на 3 роки, донька старша за сина на два роки. Чотири роки тому всім членам родини було 58 років. Скільки років зараз кожному із членів родини.

              Розв*язання. Чотири роки тому всім членам родини було на 15 років менше (73-58), а не на 16. Тому наймолодшого члена родини (сина) ще не було. То слідує, що сину зараз 3 роки, донці 5 років, жінці 31 рік, чоловікові 34 роки.

             Задача 6. Добуток чотирьох послідовних натуральних чисел 3024. Знайти ці числа.

             Розв*язання.      кожен з цих чисел не більше 10 (3024<10000) серед ни х немає чисел 5 і 10. Тому шуканими можуть бути 1, 2, 3, 4 або 6, 7, 8, 9. Умові задовольняють числа 6, 7, 8, 9.

             Задача 7.  У школі 370 учнів. Доведіть, що серед учнів цієї школи знайдуться принаймні два учні, які народилися в один день.

              Вказівка. Дивись задачу 4.

             Задача 8.  Справедливі дані твердження: а) серед людей, що мають телевізори, є такі, що не є мулярами; б) люди,що кожен день плавають у басейні, але не є мулярами, не мають телевізорів. Чи слідує, що не всі люди, що мають телевізори, кожен день плавають у басейні.

              Розв*язання. За умовою а) серед тих, хто має телевізори є немуляри. За умовою б) жоден з них не може щоднгя плавати у басейні (бо немуляри, які щодня плавають у басейні, не мають телевізорів), з цього слідує, що не всі люди, що мають телевізори, щодня плавають у басейні.

                 2. Задачі на встановлення відповідностей.

                         Задача 1. У вершинах декількох рівних провильних трикутників у довільному порядку записано числа 1, 2, 3. Ці трикутники поклали один на одний. Чи може сума чисел у всіх вершинах, що сумістились, дорівнювати 25?

             Розв*язання. Не може, бо тоді сума всіх чисел дорівнювала б 75. Проте число 75 не можна дістати описаним способом, бо воно не ділиться на 6.

             Задача 2. В одному з підїздів 8-поверхового будинку не першому поверсі розміщені квартири від 97 до 102. На якому поверсі і в якому підїзді розміщена квартира 222, якщо всі підїзди побудовано однаково і на кожному поверсі однакова кількість квартир?

             Розв*язання. Очевидно на кожному поверсі є по 6 квартир, а в одному підїзді 48 квартир. Оскільки 222=4*48+30, то квартира 222 розміщена у 5 підїзді на 5 поверсі.

             Задача 3. За 9 однакових олівців заплатили більше ніж 11 грн. але менше ніж 12 грн. За 13 таких олівців заплптили 15 грн. і кілька копійок але не більше 16 грн. Яка вартість одного олівця?.

             Розв*язання. Очевидно, що один олівець коштуеє 1 грн. Х копійок. Враховуючи те що 200<9Х<300, матимемо 23≤Х<33. Але крім того, Х задовольняє умові 200≤13Х<300, тому 16≤Х≤23. Отже вартість олівця 1грн. 23 коп.

             Задача 4. 30 календарів коштують на 1грн. 40 коп. дорожче ніж 40 марок. Тіж самі 30 календарів коштують на 1грн. 40 коп. дешевше ніж 50 таких самих марок. Скільки коштує 1 календар і 1 марка?

             Відповідь. Календар коштує 42 коп, марка 28 коп.

               3. Задачі , в яких деякі висловлення хибні.

              И.П.Павлов: «Правильно понятая ошибка – это путь к открытию».

             Задача 1. 4 грн.=40 000 коп. Візьмемо вірну рівність. 2 грн.=200 коп. і піднесемо до квадрату праву і ліву частину. Маємо 4 грн.=40 000коп. У чому полягає помилка?

             Розв*язання. Підносити до квадрату гроші не має сенсу. Підносять до квадрату числа, а не величини.

             Задача 2. 5=6. Доведемо це. Візьмемо тотожність 35+10-45=42+12-54. Винесемо спільний множник у правій і лівій частині за дужки. 5(7+2-9)=6(7+2-9) і тоді лишаемо 5=6. В чому ж помилка?

             Розв*язання. Не можна ділити на 7+2-9=0.

             Задача 3. За добу до дощу Андрійкова кішка завжди чхає. Сьогодні вона чхнула. Чи правда, що завтра буде дощ?

             Розв*язання. Ні не правда. Наприклад киця могла застудитися і чхати від цього.

             Задача 4. У трьох коробках лежать кульки: в одній дві білі, у другій 2 чорні, а в третій чорна і біла. На кожній коробці написано, які кульки в ній лежать, але жоден напис не відповідає дійсності. Як дізнатися, які кульки лежать в якій коробці, коли можна витягнути лише одну кульку?

             Розв*язання. Дістанемо одну кульку з коробки на якій написано «чорна і біла». Нехай кулька виявилась білою. Тоді в цій коробці лежать дві білі кульки. Отже, у коробці, на якій написано «дві чорні», лежать біла і чорна кульки. А у коробці з написом «дві білі» - дві чорні. Аналогічно можна розглянути випадок, коли витягнута куль ка чорна.

             Задача 5. У деякого царя  є 100 міністрів, про яких відомо, що серед них є принаймні один чесний, і що у кожній парі міністрів, принаймні один чесний. Скільки чесних міністрів у цього царя?

             Розв*язання. Поставимо по черзі в пару до міністра, про якого напевно відомо, що він чесний, кожного з інших міністрів. Оскільки у кожній парі принаймні, один міністр не чесний, то всі ці міністри, на жаль, не є чесними. Тобто у цього царя лише один чесний міністр.

             Задача 6. Майстер спорту Сивий, кандидат у майстри Чорний і першоразрядник Рудий якось зустрілися. «Зверніть увагу – зауважив той, у якого чорне волосся, - один із нас сивий, другий рудий, а третій має чорне волосся. Та у кожного колір волосся не збігається з прізвищем». «Ти маєш рацію», - підтвердив майстер. Яке волосся у кожного з них.

             Розв*язання. У майстра спорту не сиве і не чорне волосся, тобто він рудий. Звідси випливає, що кандидат у майстри Чорний – володар сивого волосся, а першорозрядник чорний.

             Задача 7. Дехто каже: «Я брехун». Чи є він мешканцем острова брехунів чи лицарів? (Лицар завжди каже провду, брехун – неправду).

             Розв*язання. лицар завжди каже правду, тобто він не може сказати, що він брехун. Брехун завжди каже неправду, тобто він теж назветься лицарем.

             Задача 8. Три богині прийшли до юного Париса, щоб той вирішив, кот ра з них найчарівніша. Афродіта сказала: «Я найчарівніша, Гера не найчарівніша». Афіна: «Афродіта не найчарівніша, я найчарівніша». Гера: «Я найчарівніша». Усі твердження найчарівнішої із богинь істинні, а твердження інших хибні. Визначте найчарівнішу з богинь.

             Розв*язання. Нехай Гера каже правду, тобто вона найчарівніша. Тоді не всі твердження Афродіти і Афіни є хибними. Отже Гера не найчарівніша. Тоді найчарівніша Афродіта. Справді у цьому випадку всі твердження Афіни хибні.

             Задача 9. У родині четверо дітей, їм 5, 8, 13, 15 років. Їх звуть Ганна, Борис, Віра та Галя. Скільки років кожній дитині, якщо одна дівчинка ходить до дитячого садка, Ганна старша від Бориса, і сума років Ганни та Віри ділиться на три.

             Відповідь. Вірі 5 років, Борису – 8, Ганні – 13, Галі – 15

Відповіді ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2017-2018 н.р.

6 клас

1. Задамо дану суму в вигляді наступних доданків:

(1 + 2016) + (2 + 2015) + …+ (1013 + 1014) + 2017. Оскільки кожний доданок  ділиться на 2017, то і вся сума буде ділиться на 2017.

Відповідь: ділиться на 2017.

2. За першу хвилину Чебурашка мав з’їсти стільки ж, скільки з’їв одночасно з Крокодилом Геною. Усього він з’їв половину торта, тому за хвилину він з’їв одну четверту частину торта.

Відповідь: за 4 хвилини.

3. Тетяна рухається зі швидкістю 10 км/год. Отже вона з’явиться в кінці доріжки через  год. За цей час Оксана проїде  км, тобто 200 м. Це означає, що відстань між дівчатами 500-200=300 м.

Відповідь: 300 м.

4. Оскільки за умовою задачі 9 років тому сума років усіх членів сім'ї дорівнювала 40, а зараз 65, то за ці 9 років ця сума збільшилася на 65-40=25 років. Але якби 9 років тому в сім'ї був син, то за цей період ця сума повинна була б збільшитися на 9·3=27 років. Отже, 9 років тому в сім'ї ще не було сина, а зараз йому 25-9·2=7 років. Тоді 4 роки тому синові було 7-4=3 роки, а батькові, згідно з умовою задачі, у 9 разів більше, тобто 3·9=27 років. Отже, зараз батькові 27+4=31 рік.

Рис. 1

Відповідь: 31 рік.

5.Сусідніми по стороні є темні та світлі, сусідніми числами є парні та непарні (рис. 1). Оскільки непарних чисел 5, то саме вони стоять по темних комірках. Сума усіх непарних чисел від 1 до 9 дорівнює 25, тому всередині має стояти число 7. Неважко показати заповнення числами, щоб ці умови були виконані.

Відповідь: .

7 клас

1. Позначимо найменший власний дільник через , тоді число  так само дільник нашого числа. Але вони різної парності і кожне з них є дільником шуканого числа. Тому воно точно ділиться на , звідки зрозуміло, що . Так само очевидно, що саме число є добутком цих двох дільників, тому воно дорівнює .

Відповідь: .

2. Позначимо суму цифр числа N через n, тодi маємо таку рiвнiсть:N = n + n³. Зрозумiло, що куб суми цифр не перевищує 99, а таких кубiв натуральних чисел усього чотири – 1,2,3,4. Достатньо їх перебрати.

Тодi з рiвностi N = n+n³ знайдемо можливi значення N:

N = 1 + 1 = 2 – має суму цифр 2, умову не задовольняє;

N = 8 + 2 = 10 – має суму цифр 1, умову не задовольняє;

N = 27 + 3 = 30 – має суму цифр 3, є розв’язком задачi;

N = 6 4 + 4 = 68 – має суму цифр 14, умову не задовольняє

Вiдповiдь: 30.

3. Оскільки за умовою задачі 9 років тому сума років усіх членів сім'ї дорівнювала 40, а зараз 65, то за ці 9 років ця сума збільшилася на 65-40=25 років. Але якби 9 років тому в сім'ї був син, то за цей період ця сума повинна була б збільшитися на 9·3=27 років.

Отже, 9 років тому в сім'ї ще не було сина, а зараз йому 25-9·2=7 років.

Тоді 4 роки тому синові було 7-4=3 роки, а батькові, згідно з умовою задачі, у 9 разів більше, тобто 3·9=27 років.

Отже, зараз батькові 27+4=31 рік.

Відповідь: 31 рік.

4. Зрозумiло, що сторона внутрiшнього квадрата дорiвнює 4, а рiзниця сторiн прямокутника i дорiвнює сторонi цього квадрата. Тому можемо позначити сторони прямокутника через x та x + 4.

Площа великого прямокутника складає 16 + 96 · 4 = 400, тобто сторона 20. Легко побачити, що сторона великого квадрату складається з двох менших сторiн прямокутника та сторони малого квадрата, тобто: 2x + 4 = 20.

Звiдси менша сторона дорiвнює x = 8, а бiльша сторона –  x + 4 = 12.

Вiдповiдь: Сторони прямокутника 8 та 12.

5. Пофарбуємо дошку у  кольори. Непарні рядки ( -й, -й, …, -й) зліва направо по черзі у кольори  та , парні рядки аналогічно у кольори  та . При повороті на  відбувається такий перехід кольорів:  (або аналогічний). При такій операції сума чисел кожного кольору змінюється на однакове число. По завершенню сума усіх чисел не змінюється. тому суми чисел кожного кольору з самого початку мають бути рівними. Але сума чисел  не кратне . Одержана суперечність завершує доведення.

Відповідь: не існує.

6. У зустрічах між собою 4 останні учасники зіграли 6 партій, а тому разом набрали принаймні 6 очок, тому другий учасник набрав не менше 6 очок. Тому другий учасник втратив не більше 1 очка, перший – також, але з нічиїх зрозуміло, що вони зіграли мінімум 2 рази, крім того, у партіях між собою так само було втрачене 1очко. Тобто, вони разом втратили не менше 2 очок, з доведеного вище – не більше, тому обидва набрали по 6 очок.

Відповідь: 6.

8       клас

1. Нехай 2014=х, тоді х(х+1)(х+2)(х+3)+1=(х²+3х)(х²+3х+2)+1=
=(х²+3х)² +2(х²+3х)+1=(х²+3х+1)²

Отже, 2014·2015·2016·2017+1=(2014²+ 3·2014+1)² – квадрат натурального числа.

2. Нехай зараз батькові х років, матері у років, синові z років. Тоді за умовою задачі маємо х + у + z = 65.

Якби 9 років тому сім'я також складалася з 3осіб, то на той період сума років усіх членів сім'ї дорівнювала б 65-9·3=38, а за умовою задачі вона дорівнює 40. Таким чином. 9 років тому в сім'ї ще не було сина, через те сума років членів сім'ї на той період складалася з років батька і матері, отже
(х-9)+(у-9)=40.

Оскільки 4 роки тому батько був старший за сина в 9 разів, то х-4=9(z-4).

Таким чином, для знаходження років батька, матері та сина маємо

Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо х=31, у=27, z=7. Отже, у даний момент батькові 31 рік.

Відповідь: батькові 31 рік.

3. Позначимо суму цифр числа N через n, тодi N = n + n³.

Оскiльки 1  ≤ n ≤ 27, то n³ лежить в межах вiд 73 до 998,

бо 73 = 100 − 27 ≤ N − 27 ≤ n³ ≤ N − 1 ≤ 999 − 1 = 998.

Простим пiдбором знаходимо, що у цих межах лежать такi куби натуральних чисел: 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, 83 = 512, 93 = 729.

Тодi з рiвностi N = n + n³ знаходимо можливi значення N:

N = 125 + 5 = 130 – має суму цифр 4, умову не задовольняє;

N = 216 + 6 = 222 – має суму цифр 6, є розв’язком задачi;

N = 343 + 7 = 350 – має суму цифр 8, умову не задовольняє;

N = 512 + 8 = 520 – має суму цифр 7, умову не задовольняє;

N = 729 + 9 = 738 має суму цифр 18, умову не задовольняє

Вiдповiдь: 222.

4. Розглянемо ситуацію, коли три числа кратні , а четверте – ні. Тоді за модулем  ці числа дорівнюють , де . Тоді така четвірка вже ніколи не зміниться. Тепер перевіримо, коли кількість чисел кратних  може збільшитись. Для цього треба, щоб в якості пари  були числа  за модулем . Але тоді з’явиться пара . Тобто у ситуації, коли три числа кратні , а одне – ні, вони повинні мати вигляд , а четвірка чисел із умов задачі дорівнює . Одержана суперечність завершує доведення.

Відповідь: не можливо.

5. 

B

K

C

N

M

B1

A

Продовжимо медіану BM за точку M на довжину цієї медіани.

Отримаємо точку B₁ таку, що B₁M = MB. Тоді AMB₁₌ CMB (за двома сторонами та кутом між ними (вертикальному).

Отже, AB₁ = BC = AN.

Тоді, NAB₁ – рівнобедрений, тому угол ANB₁= AB₁N.

Крім того, AB₁N= NBK, бо AMB₁= CMB.

BNK= ANB₁ (як вертикальні). Отже, BNK = NBK.

Тоді BKN – рівнобедрений, BK = KN.

6. Зрозуміло, що треба вибрати якомога більше кубиків зі сторонами  та . Очевидно, що кубик зі стороною  можна використати максимум один. Після цього не більше семи кубиків зі стороною , наприклад, розмістивши їх по кутах великого кубика.

Покажемо, що більшу їх кількість розташувати не можна. Кожен з кубиків зі стороною  та  обов’язково покриває принаймні один (для квадрата зі стороною  - рівно один) кубик, що розташований по діагоналі від одного з кутових кубиків кубика . Але таких кубиків усього вісім, тому й кубиків зі стороною  та  не більше восьми. Підрахуємо їх максимальний об’єм. . Таким чином, щоб повністю його заповнити треба ще  одиничних кубики. Разом виходить треба щонайменше  кубиків.

Відповідь: не можна.

9 клас

1. Обчисліть значення виразу:

.

Нехай , тоді (х+2)(х+1)-(х+3)х=2.

Відповідь: 2.

2. Розглянемо ситуацію, коли три числа кратні , а четверте – ні. Тоді за модулем  ці числа дорівнюють , де . Тоді така четвірка вже ніколи не зміниться. Тепер перевіримо, коли кількість чисел кратних  може збільшитись. Для цього треба, щоб в якості пари  були числа  за модулем . Але тоді з’явиться пара . Тобто у ситуації, коли три числа кратні , а одне – ні, вони повинні мати вигляд , а четвірка чисел із умов задачі дорівнює . Одержана суперечність завершує доведення.

Відповідь: не можливо.

3. Розв’яжіть систему рівнянь: 

3. Для зручності позначимо: , , .

        

Тоді, додаючи всі три рівняння, отримуємо: 2(a+b+c)=6048.

Звідси a+b+c=3024. З першого рівняння системи маємо c=3024-2015=1009;

З другого – a=3024-2016=1008; з третього – b=3024-2017=1007.

Тоді , , .

Відповідь: , , .

4.Нехай x₀ – спільний корінь цих рівнянь. Тоді ax₀ ²⁰¹⁷ + b = bx₀²⁰¹⁷ + a,
(a – b)x₀²⁰¹⁷ = a – b. Оскільки a ≠ b , то x₀ = 1. Отже, a + b = - 1.

Відповідь: -1.

5. Трикутники AEF і EDF подібні, бо вони мають спільний кут F і FAE= ACB= FED (бо кут між дотичною EF і хордою BE дорівнює вписаному куту ВСЕ).

З подібності цих трикутників випливає .

Отже, EF²= AF·DF= a(a– b).

Відповідь: .

6. Запишемо у кожному рядку зліва направо числа  по одному в кожну клітинку. Тоді будуть прибрані дві будь-які клітини з записаними в них числами . Будь-яка фігурка покриває п’ять клітинок, сума чисел на яких кратна . Але сума всіх чисел таблиці, що лишилася дорівнює

,

і має останню цифру , тобто не кратна .

Відповідь: не можна.

10 клас

1. Обчислить значення виразу: =

= – = 

Відповідь: 2.

2. Позначимо найменший власний дільник через , тоді принаймні одне з чисел  так само дільник нашого числа. Але вони різної парності і кожне з них є дільником шуканого числа. Тому воно точно ділиться на , звідки зрозуміло, що . Тоді , а . Так само очевидно, що саме число є добутком цих двох дільників, тому воно дорівнює 8130або 64.

Відповідь: 8130 або 64.

3. Оскільки 3x+4y+6z 12, то .  Скористаємось нерівністю Коші-Буняковського: .

4. Подовжимо CA за точку A, відмітимо точку E таку, що AE = AD. Прямокутні трикутники BAE і BAD рівні за двома катетами, отжеBD = BE. Доведемо, що DC ≥ DE.

Через точку D проведемо пряму, паралельну BC, нехай вона перетинає відрізок BE у точці F.

Достатньо довести, що BF ≥ FE, і, застосувавши теорему Фалеса, одержати, що DC ≥ DE.

Або достатньо довести, що BF ≥ BE = BD.

Кути FDB и DBC – внутрішні різносторонні при паралельних DF і BC та січній BD, отже ∠BDF = 30◦.

Але тоді в трикутнику BDF сторона BF, яка лежить навпроти кута 30◦, не коротша половини BD. Щоб цепояснити, опустимо з B перпендикуляр на DF, нехай X – основа цього перпендикуляра, тоді BX = BD (бо BX – катет,що лежить навпроти кута 30º у прямокутному трикутнику DBX), а BF ≥ BX (бо похила  не коротша за перпендикуляр).

Отже, BF ≥ BD, CD ≥ 2AD .

5. х²+(2017+а)х+2016а+4033=0, 

,

Оскільки нас цікавлять лише цілі значення х і а, то х+2016 – дільник простого числа 2017. Таким чином, отримаємо 4 можливих значення х.

1)    х+2016=2017. Отже, х=1, а=-3.

2)    х+2016=1. Отже, х=-2015, а=-3.

3)    х+2016=-1. Отже, х=-2017, а=4033.

4)    х+2016=-2017. Отже, х=-4033, а=4033.

Відповідь:-3 , 4033.

6. Пофарбуємо вузли сiтки чорним i бiлим кольором у «шаховому» порядку (тобто нiякi два сусiднi вузли не є однокольоровими). Оскiльки всi вiдрiзки ламаної утворюють кут 45◦ з лiнiями сiтки, то всi її вершини, як нескладно помiтити, є одного кольору.

Без обмеження загальностi будемо вважати, що чорного.

Тодi з’єднаємо всi пари чорних точок, вiдстань мiж якими дорiвнює , зеленими вiдрiзками. Бачимо, що чорнiвузли разом з зеленими вiдрiзками утворюють нову клiтчату сiтку з площею квадратика, рiвною 2.

Тодi всi вiдрiзки нашої ламаної, як неважко переконатися, йдуть по лiнiям нової сiтки, причому обмежують 8 2 = 4 її квадратики. Що ж вiдбувається з вузлами початкової сiтки? Тi, якi ми позначили чорним кольором, переходять у вершини нової, а тi, якi бiлим – в центри нових квадратикiв. Останнiх у нас, очевидно, 4, а вершин нової сiтки – стiльки ж, скiльки рiзних квадратикiв 2 × 2 мiстить ламана на новiй сiтцi (взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж квадратиками 2×2 i їх центрами, якi лежать всерединi ламаної). Таких квадратикiв, очевидно, не може бути бiльше одного, адже площа одного вже дорiвнює площi всерединi ламаної. Звiдси маємо i вiдповiдь – 4 або 5. Приклади для обох варiантiв наведенi нижче.

Вiдповiдь: 4 або 5.

11 клас

1.Якщо n=2017,

то = .

Відповідь: .

2. Розв’яжіть рівняння: 2017^х –2016^х=1.

Доведемо, що інших розв’язків немає.

Функція в лівій частині рівняння зростає, в правій – спадає. Отже, рівняння має не більше 1 розв’язку.

Відповідь: х=1.

3. Оскільки x >0 і y>0, то за нерівністю між середнім арифметичним і середнім геометричним двох додатних чисел маємо , тобто . Тому .

4. Доведемо, що BC ≥ AB.

Розглянемо проекції точок M і C на пряму AB – точки M₁ і C₁ відповідно.

Тоді точка M₁ – основа висоти рівнобедреного трикутника ABM, отже, є серединою сторони AB, BM₁ = AB.

∠CBC₁ = 180˚− ∠ABC = 60 ˚, тому BC₁ =BC cos 60 = BC.Але BC = MC ≥ M₁C₁ = M₁B + BC₁ = AB+ BC, откуда BC ≥ AB.
Аналогічно, використовуючи проекції точок N і A на пряму BC, доведемо, що BC ≤ AB. Отже, BC = AB.

5. При x =0 маємо f(0)=-1.

При y=0 маємо  .

Перевіркою переконуємось, що ця функція задовольняє умову.

Відповідь: .

6. Припустимо, що таких цілих чисел немає.

Нехай, число 2016 пофарбовано в синій колір, а число 2017 – в жовтий. Розглянемо 2 випадки:

1) Число 0 пофарбовано в жовтий колір.

Оскільки числа 0 і 2017 – жовті, то число -2017 пофарбовано в синій колір.

Оскільки числа -2017 і 2016 – сині, і -2017+2016+1=0, то число 1 – жовте. Аналогічно, оскільки, числа 0 і 1 –жовті, то число -1 повинно бути  синім.

Далі, числа -1 і 2016 – сині, отже число -2015 – жовте, тоді число 2015 –синє.

Числа -2015 і 2017 – жовті, 2017 +(-2015)+(-2)=0, тому число -2 – синє, тоді число 2 –жовте.

Таким чином, числа 1 і 2 пофарбовані жовтим кольором.

Нехай число n – найменше натуральне число, пофарбоване синім кольором, тоді число - n пофарбовано жовтим кольором.

Оскільки 1+(n-1)+(- n)=0, n>2 і ці три числа – жовті, отримаємо протиріччя.

2) Число 0 пофарбовано в синій колір.

Оскільки числа 0 і 2016  – сині, то  число -2016 пофарбовано в жовтий колір.

Оскільки числа -2016 і 2017 – жовті, і -2016+2017+(-1)=0, то число -1 –синє.

Аналогічно, оскільки, числа 0 і -1 – сині, то число 1 повинно бути жовте. Далі, числа 1 і -2016 – жовті, отже число 2015 – синє, тоді число -2015 – жовте. Числа -2015 і 2017 – жовті, (-2015)+ 2017 + (-2)=0, тому число -2 – синє.

Таким чином, числа -1 і -2 пофарбовані синім кольором.

Нехай число m – найбільше ціле від’ємне число, пофарбоване жовтим кольором, тоді число - m пофарбовано синім кольором.

Оскільки -1+(-m +1)+ m =0, -m<2 і ці три числа – cині, отримаємо протиріччя.

Відповідь: обов’язково.